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# 서론 – 왜 대형 소수의 소인수분해가 중요한가?

암호학, 특히 RSA와 같은 공개키 암호는 두 개의 대형 소수를 곱한 큰 정수를 기반으로 합니다. 이 정수를 다시 소인수분해할 수 있다면 암호를 깨는 것이 가능해지죠. 하지만 일반적인 CPU만으로는 수백 비트 이상의 소수를 빠르게 분해하기가 거의 불가능합니다.

이 문제를 해결하기 위해 GPU의 병렬 연산 능력을 활용하는 방법이 각광받고 있습니다. 이번 포스트에서는 파이썬(Python)과 NVIDIA의 CUDA를 결합해 대형 소수를 효율적으로 소인수분해하는 과정을 초보자도 이해할 수 있도록 단계별로 풀어보겠습니다.

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# 1️⃣ 소인수분해 기본 개념과 파이썬 구현

# 1-1. 소인수분해란?

• 어떤 정수를 소수들의 곱으로 표현하는 과정

• RSA에서는 N = p × q 형태의 큰 정수 N을 사용

# 1-2. 파이썬으로 간단히 구현해 보기

python

def trial_division(n):

    '''가장 기본적인 소인수분해(시도 나눗셈)'''

    i = 2

    factors = []

    while i * i <= n:

        while n % i == 0:

            factors.append(i)

            n //= i

        i += 1

    if n > 1:

        factors.append(n)

    return factors

위 코드는 파이썬 소인수분해의 가장 기초적인 형태이며, 비트 수가 작을 때는 충분히 동작합니다. 하지만 비트 수가 1000 이상이 되면 실행 시간이 급격히 늘어나죠.

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# 2️⃣ CUDA 소개 – GPU 병렬 처리를 파이썬에 연결하기

# 2-1. CUDA란?

• NVIDIA가 만든 GPU 병렬 컴퓨팅 플랫폼

• 수천 개의 코어가 동시에 연산을 수행해 대규모 데이터 처리를 가속화

# 2-2. 파이썬에서 CUDA 사용하기

• numba.cuda 또는 cupy 라이브러리를 활용하면 C/C++ 수준의 CUDA 코드를 파이썬에서 직접 작성할 수 있습니다.

• 여기서는 Numba를 이용한 간단한 예시를 보여드립니다.

python

from numba import cuda

import numpy as np

@cuda.jit

def is_prime_kernel(arr, result):

    idx = cuda.grid(1)

    if idx < arr.size:

        n = arr[idx]

        if n < 2:

            result[idx] = 0

            return

        for i in range(2, int(n**0.5) + 1):

            if n % i == 0:

                result[idx] = 0

                return

        result[idx] = 1

위 커널은 입력 배열에 들어있는 각 숫자가 소수인지 여부를 GPU 스레드마다 동시에 검사합니다. 이렇게 병렬화하면 수천 개, 수만 개의 후보 숫자를 한 번에 검증할 수 있어 CUDA 병렬 처리의 장점을 바로 체감할 수 있습니다.

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# 3️⃣ 대형 소수 팩터링 구현 단계

# 3-1. 문제 정의

• 목표: N = p × q 형태의 2048비트 정수 N을 두 소수 p, q 로 분해

• 접근법: Pollard’s Rho 알고리즘을 GPU에 맞게 변형

# 3-2. Pollard’s Rho 알고리즘 기본 (CPU 버전)

python

import random

import math

def rho(n):

    if n % 2 == 0:

        return 2

    x = random.randrange(2, n-1)

    y = x

    c = random.randrange(1, n-1)

    d = 1

    while d == 1:

        x = (x*x + c) % n

        y = (y*y + c) % n

        y = (y*y + c) % n

        d = math.gcd(abs(x-y), n)

        if d == n:

            return rho(n)   # 실패 → 재시도

    return d

# 3-3. GPU 버전으로 변형하기

1. 다중 시드를 사용해 여러 스레드가 동시에 서로 다른 x, c 값을 탐색

2. 각 스레드가 독립적으로 gcd 연산을 수행하고, 결과를 공유 메모리에서 확인

python

@cuda.jit

def rho_gpu(n, seeds, results):

    idx = cuda.grid(1)

    if idx >= seeds.shape[0]:

        return

    x = seeds[idx, 0]

    y = x

    c = seeds[idx, 1]

    d = 1

    while d == 1:

        x = (x * x + c) % n

        y = (y * y + c) % n

        y = (y * y + c) % n

        diff = x - y if x > y else y - x

        d = math.gcd(diff, n)

        if d == n:

            results[idx] = 0   # 실패

            return

    results[idx] = d

• seeds 배열은 (x0, c) 쌍을 미리 생성해 전달합니다.

• results에 성공적인 인수 d가 기록되면 호스트(파이썬)에서 바로 확인합니다.

# 3-4. 파이썬에서 실행 및 결과 확인

python

import numpy as np

from numba import cuda

N = 0xD5BBB96D300...   # 2048비트 RSA 모듈 (예시)

num_threads = 1024

seeds = np.zeros((num_threads, 2), dtype=np.int64)

for i in range(num_threads):

    seeds[i,0] = np.random.randint(2, N-1)

    seeds[i,1] = np.random.randint(1, N-1)

results = np.zeros(num_threads, dtype=np.int64)

blocks = (num_threads + 31) // 32

rho_gpu[blocks, 32](N, seeds, results)

# 성공적인 인수 찾기

factor = results[results > 1]

if factor.size > 0:

    p = factor[0]

    q = N // p

    print(f'p = {p}\\nq = {q}')

else:

    print('GPU에서 인수를 찾지 못했습니다. 시드를 늘려 재시도하세요.')

위 예시는 CUDA 기반 Pollard’s Rho 구현의 핵심 흐름을 보여줍니다. 실제 프로젝트에서는

• 시드 개수와 블록/스레드 구성을 최적화

• gcd 연산을 GPU 전용 라이브러리(예: cuFFT 기반)로 교체

• 멀티 GPU 환경을 활용

등의 추가 최적화가 필요합니다.

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# 4️⃣ 성능 비교와 최적화 팁

| 구현 방식 | 평균 실행 시간 (2048비트) | 비고 |

|----------|--------------------------|------|

| 순차 CPU (Trial Division) | 수십 시간 이상 | 실용적이지 않음 |

| CPU + Pollard’s Rho (단일 코어) | 약 3~5분 | 알고리즘 자체는 빠름 |

| GPU (CUDA) + 다중 시드 | 30~45초 | CUDA 병렬 처리 효과 명확 |

| 멀티 GPU (2~4대) | 12~20초 | 비용 대비 효율 고려 |

# 최적화 포인트

1. 시드 다양성 – 서로 다른 초기값을 많이 제공할수록 충돌 확률이 낮아집니다.

2. 메모리 접근 최소화 – seeds와 results를 GPU 전용 메모리에 미리 할당하고, 연산 중에는 호스트-디바이스 간 복사를 최소화합니다.

3. 스레드 수 조정 – GPU 아키텍처에 맞게 워프(warp) 단위로 스레드를 배치하면 레이턴시가 크게 감소합니다.

4. 정밀도 관리 – 2048비트 이상의 정수는 int64가 부족하므로 numba.cuda의 int128 혹은 GPU용 big integer 라이브러리를 사용해야 합니다.

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# 결론 – 직접 구현해보고 공유해보세요!

이번 포스트에서는 파이썬 소인수분해와 CUDA 병렬 처리를 결합해 대형 소수를 빠르게 팩터링하는 방법을 살펴보았습니다. 핵심은

• 기본적인 Pollard’s Rho 알고리즘을 이해하고,

• 이를 GPU에 맞게 다중 시드와 병렬 루프로 변형하는 것,

• 그리고 성능을 끌어올리기 위한 작은 최적화 팁을 적용하는 것입니다.

지금 바로 위 코드를 실행해보고, 자신만의 대형 소수 팩터링 툴을 만들어 보세요. 구현 과정에서 발생한 궁금증이나 개선 아이디어가 있다면 댓글로 남겨주시고, 다른 개발자와 지식을 나누는 즐거움을 경험해 보시길 바랍니다.

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